机械振动

一、简谐运动

• 定义：回复力 $F=-kx$（线性回复力）
• 位移：$x=A\sin (\omega t+\phi )$（或余弦）
• 参量：振幅 $A$、周期 $T$、频率 $f=1/T$、角频率 $\omega =2\pi f$

二、简谐运动的描述

• $x-t$ 图像：正弦（余弦）曲线
• 速度：$v=x^{\prime }=A\omega \cos (\omega t+\phi )$
• 加速度：$a=v^{\prime }=-A{\omega }^2\sin (\omega t+\phi )=-{\omega }^{2}x$
• 能量：$E=\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}k{x}^2+\frac{1}{2}m{v}^2$（守恒，无阻尼）

三、简谐运动的回复力和能量

• 回复力来源：弹簧弹力 / 重力分量（单摆小角度 $\sin \theta \approx \theta$）

四、单摆

$T=2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

• 条件：最大摆角 $\theta <5^{\circ }$
• $T$ 只与 $L$ 和 $g$ 有关，与振幅、摆球质量无关

五、实验：用单摆测量重力加速度

• 测 $L$（摆线长 + 小球半径），测 $T$（多次测 $n$ 次全振动时间除以 $n$）
• $g=4{\pi }^{2}L/T^2$

六、受迫振动 共振

• 阻尼振动：振幅逐渐减小
• 受迫振动：驱动力作用下，稳定后频率 = 驱动力频率
• 共振：$f_{\text{驱}}=f_{\text{固}}$ 时振幅最大
  • 防止共振：改变固有频率 / 改变驱动力频率